Brincando com os números

O educador brasileiro Malba Tahan publicou, em 1962, uma obra em dois volumes intitulada Didática da Matemática, na qual discute várias questões relativas ao ensino desta cátedra. Por exemplo: a relação da matemática com as outras ciências, os fatores que interferem em sua aprendizagem, o método heurístico, o papel do laboratório e dos jogos e recreações no seu ensino. Segundo Malba Tahan, qualquer que seja o método adotado pelo professor, o jogo pode figurar entre as atividades mais úteis à aprendizagem, particularmente porque se trata de uma atividade que desperta “alto coeficiente de interesse”, seja pela forma curiosa como são enunciadas, seja pela maneira arguta como são resolvidas. Logo, é importante que o professor procure praticar em sala jogos que interessem e agradem aos alunos.

O sudoku é um jogo que pode despertar interesse dos adolescentes. É raro um professor de matemática que não tenha se deparado com alguns de seus alunos resolvendo um sudoku ou lhe inquirindo sobre estratégias de resolução. Algo parecido com o que também acontece com o cubo mágico. O sudoku é um jogo que traz em si uma série de elementos próprios da matemática como: estratégia de resolução, desenvolvimento lógico, cálculo mental, levantamento de hipóteses, persistência e validação, entre outros. Além disso, como jogo, permite certas dinâmicas de competição e cooperação. Para os autores dos PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais), o aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles provocam no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso, é importante que os jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa dos diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver. O presente artigo visa discutir uma possibilidade do uso do sudoku em sala de aula de matemática, partindo de sua concepção mais simples que é a dos quadrados mágicos.

O quadrado mágico A palavra diagrama é de origem grega (diágramma, atos) que significa “o que se representa por desenho ou forma escrita”. Podemos imaginar que todo diagrama matemático é composto de três aspectos: o aritmético, o geométrico e o algébrico. A linguagem aritmética, o cálculo operacional, está expresso no diagrama diretamente pelos números e suas operações. A linguagem geométrica se refere à forma e se manifesta na posição que estes números ocupam na figura retangular, ocupan¬do posições entre linhas e colunas que guardam entre si uma determinada lógica. Já a linguagem algébrica pode não ser visível imediatamente, mas ela está presente nos possíveis valores numéricos que cada lacuna do diagrama pode ter, respeitadas as regras do jogo. Ela precisa ser deduzida a partir das duas anteriores: a aritmética dá pistas sobre o processo de cálculo e a geométrica, sobre o ordenamento destes cálculos. Os antigos matemáticos chineses dedicaram-se de maneira especial aos estudos e trabalhos com diagramas. Mas sua motivação inicial associava a matemática ao mito e à magia.

Na mitologia chinesa, a tartaruga é um animal enigmático que guarda os segredos do céu e da terra. A forma de seu casco representa a abóboda celeste, e o seu peitoral, plano e quadrado, a terra. Os 24 recortes do casco simbolizam os vinte e quatro períodos do calendário agrícola e sua longevidade simboliza sua solidez. Foi assim que, conta a mitologia, uma tartaruga surgiu das águas do Huang-He (Rio Amarelo) para o imperador Yu-Huang (2800 a.C.), da dinastia Hsia, quando este, sentado às suas margens, buscava uma solução para as catástrofes oriundas às enchentes daquele rio. Atento, observou que o animal trazia em seu casco um diagrama dividido em nove partes, cada uma delas com determinada quantidade de pontos, de acordo com o sistema de numeração chinês na época. A partir deste diagrama foi traçado um quadrado considerado mágico (Lo Shu), pois nele havia uma relação numérica na qual a soma dos números em cada linha, coluna ou diagonal sempre dava o mesmo resultado: 15, o número de dias que a Lua Nova leva a tornar-se Lua Cheia. Desta forma, um quadrado é mágico quando as somas de cada linha, coluna ou diagonal resulta o mesmo número chamado constante mágica. Quadrados latinos Quase 4,5 mil anos após sua aparição na China, associando magia e ciência, o quadrado mágico se insere como objeto de estudo matemático, servindo de modelo para a resolução de alguns determinados tipos de problemas.O matemático suíço Leonard Euler (1707-1783) foi um dos mais talentosos de todos os tempos e construiu grande fama ao propor e resolver uma série de problemas, entre o quais destacamos o seguinte, pelas próprias palavras de Euler: “Um problema bastante curioso, que pôs à prova durante muito tempo a sagacidade de muita gente, levou-me às investigações seguintes, que parece terem aberto nova via na análise e em particular na doutrina das combinações. Esse problema diz respeito a uma assembleia de trinta e seis oficiais de seis patentes diferentes pertencentes a seis regimentos diferentes; trata-se de os dispor num quadrado de modo que em cada linha, quer horizontal, quer vertical, encontrem-se seis oficiais de patentes e regimentos diferentes. Ora, depois de todos os esforços feitos para resolver o problema, somos obrigados a reconhecer que tal disposição é absolutamente impossível, se bem que não se possa dar uma demonstração rigorosa.”

Como em outros problemas importantes da matemática deixados como conjecturas, este somente foi demonstrado tempos depois, necessitando, para isso, de novos conceitos e métodos modernos da matemática. Isto se deu em 1959, quando os matemáticos Parker, Bose e Shrikhande demostraram que este problema não tem solução quando se consideram 36 oficiais, mas para outras quantidades, como 9, por exemplo, teria solução.

O importante aqui a se considerar é que na busca da interpretação e solução desse problema, Euler criou o que chamou de “quadrado latino”, por ter usado letras do alfabeto latino como símbolos. Trata-se de um quadrado de ordem n, isto é, n linhas e n colunas, preenchidas com n símbolos de tal forma que cada um aparece no máximo uma vez em cada linha ou coluna (fila ortogonal), como mostrado nos exemplos abaixo:

O sudoku
Mergulhado na tradição mágica, artística e matemática, o sudoku, que significa, em japonês, número único, tornou-se uma diversão lógico-numérica popular por ter regras simples e exigir conhecimento das operações básicas. Criado em 1979 pelo americano Howard Garns, foi aperfeiçoada pelo especialista em quebra-cabeça japonês Nobuhiko Kanamoto. Tem como grande mérito a combinação entre a estrutura dos quadrados mágicos com as regras do quadrado latino.

O jogo consta de uma matriz composta de nove quadrados (divididos em 9 partes como os quadrados mágicos) dispostos em três linhas e três colunas. Algumas “células” já contêm números, denominadas pistas. O objetivo do jogo é completar todos os quadrados, utilizando números de 1 a 9, sem que os números se repitam nas filas ortogonais.